Kontrolli i objekteve dinamike komplekse me strukturë të ndryshueshme. Kontrolli optimal i sistemeve dinamike të vazhdueshme Agjencia Federale e Arsimit

MINISTRIA E ARSIMIT DHE SHKENCËS

FEDERATA RUSE

UNIVERSITETI SHTETËROR I MOSKËS

FAKULTETI I FIZIKES

Departamenti i Fizikë-Matematikës Metodat e Kontrollit

DETYRAT

për punën e kursit

"Kontrolli optimal i sistemeve dinamike lineare"

kursi "Kontrolli optimal"

Përpiluar nga: Prof., Doktor i Shkencave Teknike Afanasyev V.N.

Moskë 2014

1. QËLLIMI I PUNËS

Projektimi matematikor i sistemeve të kontrollit linear optimal.

1. PËRMBAJTJA E PUNËS
   1. Studimi i materialit të nevojshëm teorik nga burimet;
   2. Marrja e një zgjidhjeje analitike të problemit;
   3. Hartimi i një bllok diagrami të sistemit të kontrollit.
   4. Përvetësimi i aftësive në modelimin matematik të një sistemi kontrolli duke përdorur paketën MatLab.

1. KOHA E PUNES

Semestri VIII, viti i 4-të.

Detyrat jepen në javën e 5-të shkollore.

Pranimi i punës së përfunduar kryhet në javët 10 dhe 11.

DISPOZITAT BAZË TEORIKE.

FORMULARI I PROBLEMIT

Shumë objekte kontrolli mund të përshkruhen mjaft saktë nga modelet dinamike lineare. Duke zgjedhur në mënyrë inteligjente kriteret e cilësisë kuadratike dhe kufizimet kuadratike, në këtë rast është e mundur të sintetizohen pajisje kontrolli shumë të suksesshme me reagime lineare.

Le të përshkruhen sistemet dinamike të kontrolluara me ekuacione diferenciale lineare

(1)

këtu: - gjendja e sistemit; - kontrolli i hyrjes së sistemit; - prodhimi i sistemit. Kështu, matricat A(t), B(t), C(t) kanë dimensionet përkatëse: n x n, n x r, m x n. Le të supozojmë se nuk janë vendosur kufizime në kontroll.

Le të përcaktojmë qëllimin e sistemit nga pikëpamja fizike. Le të jetë prodhimi "i dëshiruar" i sistemit. Është e nevojshme të gjendet një kontroll i tillë u(t) , në të cilin gabimi i sistemit

(2)

do të ishte "i vogël".

Që nga menaxhimi u(t) në problemin në shqyrtim nuk është i kufizuar, atëherë për të shmangur përpjekjet e mëdha në lakin e kontrollit dhe konsumin e lartë të energjisë, është e mundur të futet një kërkesë e përshtatshme në kriterin e cilësisë që merr parasysh këto fakte.

Shpesh është e rëndësishme të bësh një gabim "të vogël" në momentin e fundit të procesit të tranzicionit.

Përkthimi i këtyre kërkesave fizike në formën e një ose një tjetër funksioni matematikor varet nga shumë arsye. Ky kapitull do të shqyrtojë një klasë private të kritereve të cilësisë që kanë formën e mëposhtme:

(3)

ku F, Q(t) matricat gjysmë të përcaktuara pozitive me dimension m x m; R(t) matricë e caktuar pozitive me dimension r x r.

Le të shqyrtojmë çdo anëtar të funksionalit (3). Le të fillojmë me. Natyrisht, që nga matrica Q(t) gjysmëpërcaktuar pozitiv, atëherë ky term është jonegativ për cilindo e(t) dhe është e barabartë me zero në e(t)=0. Meqenëse, ku q ij (t) element matricë Q (t), dhe e i (t) dhe e j (t) komponentët vektorial e(t), atëherë gabimet e mëdha vlerësohen "më të shtrenjta" se ato të voglat.

Le të shqyrtojmë anëtarin. Sepse R(t) është një matricë e përcaktuar pozitive, atëherë ky term është pozitiv për cilindo dhe "dënon" sistemin për veprime të mëdha kontrolli më fort sesa për ato të vogla.

Së fundi,. Ky term shpesh quhet kosto e gjendjes përfundimtare. Qëllimi i tij është të garantojë "vogëlitetin" e gabimit në momentin përfundimtar të procesit kalimtar.

Kriteri i cilësisë (3) është i përshtatshëm matematikisht, dhe minimizimi i tij çon në faktin se sistemet optimale rezultojnë të jenë lineare.

Problemi i kontrollit optimal është formuluar si më poshtë: jepen një sistem dinamik i kontrolluar linear (1) dhe një funksional (3). Kërkohet gjetja e kontrollit optimal, d.m.th. kontrolli, nën ndikimin e të cilit sistemi (1) lëviz në mënyrë të tillë që të minimizojë funksionalitetin (3). Kërkimi i zgjidhjeve do të kryhet për problemet me një gamë të hapur ndryshimesh në veprimet e kontrollit dhe problemet në të cilat veprimet e kontrollit i përkasin një grupi të caktuar.

1. USHTRIMI
   1. Studioni metodën për ndërtimin e kontrollit optimal të sistemeve dinamike lineare
   2. Në përputhje me numrin e opsionit, merrni kushtin e problemit nga aplikacioni
   3. Kontrolloni vetitë e kontrollueshmërisë dhe vëzhgueshmërisë
   4. Ndërtoni Luenberger Observer
   5. Merrni një zgjidhje analitike për problemin
   6. Vizatoni një bllok diagram të një sistemi kontrolli optimal
   7. Studimi i ndikimit të koeficientëve të peshimit në cilësinë e proceseve kalimtare dhe në vlerën e cilësisë funksionale
   8. Modelimi matematik i një sistemi kontrolli duke përdorur paketën MatLab

APLIKACION

Objekti i kontrollit:

Funksionaliteti: .

Opsioni 1

Merrni parasysh kur:

1. ;

Opsioni nr. 2

Merrni parasysh kur:

1. ;

Opsioni nr. 3

Merrni parasysh kur:

1. ;

Opsioni nr. 4

Merrni parasysh kur:

1. ;

Opsioni nr. 5

Merrni parasysh kur:

1. ;

Opsioni nr. 6

Merrni parasysh kur:

1. ;

Opsioni nr. 7

Merrni parasysh kur:

1. ;

Opsioni nr. 8

Merrni parasysh kur:

1. ;

Opsioni nr. 9

Merrni parasysh kur:

1. ;

Opsioni nr. 10

Merrni parasysh kur:

1. ;

Opsioni nr. 11

Merrni parasysh kur:

1. ;

Opsioni nr. 12

Merrni parasysh kur:

1. ;

Opsioni nr. 13

Merrni parasysh kur:

1. ;

Opsioni nr. 14

Merrni parasysh kur:

14.1. ;

14.2. .

Opsioni nr. 15

Merrni parasysh se kur

15.1. ;

15.2. .

LITERATURA

1. Afanasyev V.N., Kolmanovsky V.B., Nosov V.R. Teoria matematikore e projektimit të sistemeve të kontrollit Shkolla e lartë. M., 2003, 616 f.
2. Afanasyev V.N. Teoria e kontrollit optimal të sistemeve dinamike të vazhdueshme. Dizajn analitik. M. Fakulteti i Fizikës i Universitetit Shtetëror të Moskës 2011, 170 f.
3. Afanasyev V.N. Sistemet optimale të kontrollit. Universiteti RUDN 2007. − 260 f.

Prodhimi i koleksionit:

KONTROLLI I OBJEKTEVE DINAMIKE KOMPLEKSE ME Strukturë të ndryshueshme

Markin Vasily Evgenievich

Ph.D. teknologjisë. Shkenca, Profesor i Asociuar, Universiteti Shtetëror i Moskës. adm. G.I. Nevelskogo, Vladivostok

Vorobiev Alexey Yurievich

Ph.D. teknologjisë. Shkenca, Profesor i Asociuar FEFU, Vladivostok

Një detyrë urgjente e teorisë moderne të kontrollit është krijimi i algoritmeve shumë efikase dhe sistemeve të kontrollit për kontrollin e objekteve dinamike komplekse. Klasa e objekteve dinamike komplekse përfshin objekte të tilla si robotët manipulues, automjetet nënujore, makinat për përpunim kompleks, etj. Veçoritë karakteristike të objekteve të tilla janë dimensioni i madh i modelit matematik, jolinearitetet e llojeve të ndryshme në modelin matematikor, shumëfishimi, si si dhe pasiguri të konsiderueshme strukturore dhe parametrike të shfaqura në procesin e funksionimit.

Shkaqet e pasigurisë parametrike mund të jenë si vetitë dinamike të vetë objektit (për shembull, një ndryshim në konfigurimin e një manipuluesi çon në një ndryshim të shumëfishtë në momentin e reduktuar të inercisë) dhe veprimi i mjedisit. Matematikisht, ky lloj pasigurie mund të vlerësohet si më poshtë:

Ku P i - disa parametër. Gjatë funksionimit, parametrat e objektit mund të marrin një vlerë nga diapazoni midis vlerave minimale dhe maksimale.

Për të sintetizuar algoritme dhe sisteme kontrolli për objekte dinamike komplekse në kushte pasigurie, përdoren qasje të ndryshme: adaptive, e fuqishme, rrjeti nervor etj. Në këtë punim, si bazë përdoret një algoritëm kontrolli me strukturë të ndryshueshme. Sistemet me strukturë të ndryshueshme (SPS) që funksionojnë duke përdorur këtë algoritëm janë njohur për një kohë mjaft të gjatë si sisteme rele me kontroll të ndërprerë. Kontrolli me një strukturë të ndryshueshme zakonisht ndërtohet në formën e mëposhtme:

(2)

Ku - ekuacioni i sipërfaqes komutuese (rrëshqitëse) në hapësirën e gjendjes R n, që përmban koordinatat fazore të objektit x 1 ,…x n. Tradicionalisht, konsiderohen sistemet e rendit të dytë, në të cilin rast hapësira e gjendjes degjeneron në një plan fazor, dhe sipërfaqja e komutimit në një linjë komutuese. Ekuacioni i sipërfaqes së ndërrimit (vija) mund të jetë ose linear ose jolinear. Në rastin më të thjeshtë, linja e kalimit është një vijë e drejtë. Në këtë rast, sipërfaqja e kalimit specifikohet nga një vektor i caktuar parametrash C dimensionet (n x 1), ku n- rendi i sistemit. Një tipar karakteristik i sistemeve të strukturës së ndryshueshme (VSS) është prania e të ashtuquajturit modaliteti rrëshqitës. Modaliteti i rrëshqitjes është një mënyrë e veçantë dinamike e sistemit, në të cilën lëvizja ndodh përgjatë sipërfaqes së kalimit s= 0 e ndërtuar në hapësirën fazore R n(Fig. 1).

Foto 1. Modaliteti rrëshqitës në SPS

Kushti kryesor për ekzistencën e një regjimi rrëshqitës përcaktohet si më poshtë:

Në modalitetin rrëshqitës, sistemi funksionon në një modalitet komutues që teorikisht ndodh me një frekuencë pafundësisht të lartë. Trajektorja e sistemit përcaktohet teorikisht vetëm nga ekuacioni i linjës komutuese, e cila nuk varet nga parametrat e sistemit (për shembull, nga një ngarkesë e ndryshueshme). Proceset kalimtare në modalitetin e rrëshqitjes janë të qëndrueshme dhe monotonike. Për të siguruar vetitë dinamike të pranueshme të sistemit, kërkohet akordimi fillestar i parametrave, për të cilin tradicionalisht përdoret metoda minimale: vektori i parametrit c zgjidhet në mënyrë që, për çdo grup kushtesh fillestare, të plotësohet kushti për ekzistencën e një regjimi rrëshqitës (3). Me fjalë të tjera, vlerat e koeficientëve të linjës së kalimit zgjidhen duke marrë parasysh vlerën maksimale të parametrit në ndryshim. p i maksimumi(1). Kjo bën të mundur sigurimin e shfaqjes së një regjimi rrëshqitës në çdo kusht fillestar. Në të njëjtën kohë, performanca e sistemit (i cili përcaktohet gjithashtu nga vlerat e elementeve të vektorit c) bëhet i ulët. Ky është një nga disavantazhet kryesore të SPS tradicionale. Për të rritur performancën, përdoret përshtatja sipas parametrit të modalitetit të rrëshqitjes. Algoritmi adaptiv për rregullimin e koeficientit të linjës komutuese c ka formën e mëposhtme:

(4)

Ku k c është koeficienti i proporcionalitetit, m, m d janë respektivisht vlerat aktuale dhe referencë të parametrit rrëshqitës.

Kjo punë shqyrton kontrollin adaptiv të makinës së një roboti manipulues. Diagrami bllok i sistemit të kontrollit automatik është paraqitur në Fig. 2.

Vizatim 2 . Blloku i sistemit të kontrollit të shkallës së lëvizshmërisë

Për të zbatuar parimin e ndryshueshmërisë së strukturës, kontrolli i stafetës përdoret në funksionim:

Nga ana e tij,

, (6)

Ku c- koeficienti i rrafshit rrëshqitës (ndërprerës).

Për simulim është përdorur paketa Simulink e përfshirë në Matlab. Rezultatet e simulimit në formën e një trajektoreje fazore tredimensionale të sistemit janë paraqitur në Fig. 3.

Figura 3. Trajektoret e fazës dhe proceset kohore të një sistemi të rendit të tretë: 1 - pa përshtatje, 2 - me përshtatje.

Simulimet tregojnë një përmirësim të konsiderueshëm në performancë kur përdoret kontrolli adaptiv. Përveç kësaj, ka një përmirësim të dukshëm në treguesit dinamikë të cilësisë në krahasim me algoritmet tradicionale të kontrollit.

Një drejtim tjetër i kërkimit është sigurimi i qëndrueshmërisë më të madhe të algoritmeve të kontrollit në lidhje me parametrat e objektit dhe kontrolluesit. Kështu, janë zhvilluar algoritme për kontrollin e një objekti dinamik kompleks të rendit të lartë në kushte të pasigurisë parametrike të konsiderueshme. Bazuar në algoritmet e propozuara, u sintetizuan sistemet e kontrollit adaptiv. U kryen eksperimente numerike që treguan efikasitetin e lartë të zgjidhjeve të propozuara.

Bibliografi:

1. Dyda A.A., Markin V.E. Sistemet e kontrollit me strukturë të ndryshueshme me sipërfaqe komutuese të çiftuara dhe jolineare të deformueshme. // Problemet e menaxhimit. - 2005, nr 1. F. 22-25.

2.Markin V.E. Kontrolli nënoptimal i shpejtësisë së objekteve dinamike komplekse në kushte pasigurie. / Procedura e Seminarit XIII Ndërkombëtar të Shkollës Baikal mbi Metodat e Optimizimit. T. 2 - Irkutsk, 2005. F. 177-181.

3.Teoria e sistemeve me strukturë të ndryshueshme. / Ed. S.V. Emelyanova - M.: Nauka, Redaksia kryesore e letërsisë fizike dhe matematikore, 1970 - 592 f.

4. Utkin V.I. Mënyrat e rrëshqitjes në problemet e optimizimit dhe kontrollit. - M: Nauka, Redaksia kryesore e letërsisë fiziko-matematikore, 1981 - 368 f.

5.Dyda A.A. Projektimi i algoritmeve adaptive VSS për kontrollet e manipuluesve të robotëve. Proc. Nga Konferenca e Parë e Kontrollit të Azisë. Tokio, 27-30 korrik 1994. Fq 1077-1080.

Në shembujt e shqyrtuar (problemi i ngarkimit të çantës së shpinës dhe problemi i besueshmërisë), u përdor vetëm një variabël për të përshkruar gjendjet e sistemit dhe kontrolli u vendos në një ndryshore. Në përgjithësi, në modelet e programimit dinamik, gjendjet dhe kontrolli mund të përshkruhen duke përdorur disa variabla që formojnë vektorët e gjendjes dhe kontrollit.

Një rritje në numrin e variablave të gjendjes shkakton një rritje të numrit të zgjidhjeve të mundshme që lidhen me secilën nga fazat. Kjo mund të çojë në të ashtuquajturin problem "mallkimi i dimensionalitetit", i cili është një pengesë serioze gjatë zgjidhjes së problemeve të programimit dinamik me dimensione të mesme dhe të larta.

Si shembull, merrni parasysh problemin e ngarkimit të një çantë shpine, por nën dy kufizime (për shembull, kufizimet e peshës dhe vëllimit):

Ku,. Meqenëse detyra ka dy lloje burimesh, është e nevojshme të futni dy parametra të gjendjes dhe. Le të shënojmë , , . Pastaj kufizimet (1) mund të reduktohen në formën:

Ku . Në ekuacionet e përsëritura të metodës së programimit dinamik për problemin "çantë çante" me dy kufizime (1):

secili prej funksioneve është funksion i dy variablave. Nëse secila prej variablave mund të marrë 10 2 vlera, atëherë funksioni duhet të renditet në 10 4 pikë. Në rastin e tre parametrave, sipas të njëjtave supozime, është e nevojshme të llogariten 10 8 fuqi të vlerave të funksionit.

Pra, pengesa më serioze për zbatimin praktik të programimit dinamik është numri i parametrave të problemit.

Problemi i menaxhimit të inventarit.

Problemi i menaxhimit të inventarit lind kur është e nevojshme të krijohet një stok burimesh materiale ose mallrash konsumi në mënyrë që të plotësohet kërkesa për një interval kohor të caktuar (fundimtar ose i pafund). Çdo detyrë e menaxhimit të inventarit kërkon përcaktimin e sasisë së produkteve që do të porositen dhe kohën e vendosjes së porosisë. Kërkesa mund të plotësohet duke krijuar një stok një herë për të gjithë periudhën kohore në shqyrtim ose duke krijuar një stok për çdo njësi kohore të kësaj periudhe. Rasti i parë korrespondon me inventar të tepërt në raport me një njësi kohore, i dyti - inventar i pamjaftueshëm në raport me periudhën e plotë kohore.

Me inventar të tepërt, kërkohen investime kapitale specifike më të larta (për njësi në kohë), por mungesat ndodhin më rrallë dhe frekuenca e porositjes është më e ulët. Nga ana tjetër, kur ka inventar të pamjaftueshëm, investimet specifike kapitale reduktohen, por frekuenca e porosive dhe rreziku i stokut rritet. Secili nga këto raste ekstreme karakterizohet nga humbje të konsiderueshme ekonomike. Kështu, vendimet në lidhje me madhësinë e porosisë dhe kohën e vendosjes së saj mund të bazohen në minimizimin e funksionit përkatës të kostos totale, i cili përfshin kostot për shkak të humbjeve nga inventari i tepërt dhe mungesat.

Këto kosto përfshijnë:

1. Kostot e blerjes, të cilat bëhen një faktor veçanërisht i rëndësishëm kur çmimi për njësi shprehet në formën e zbritjeve në vëllim në rastet kur çmimi për njësi zvogëlohet me rritjen e madhësisë së porosisë.

2. Kostot e porositjes janë kosto fikse që lidhen me vendosjen e një porosie. Kur plotësoni kërkesën gjatë një periudhe të caktuar kohore duke bërë porosi më të vogla (më shpesh), kostot rriten në krahasim me plotësimin e kërkesës duke bërë porosi më të mëdha (dhe për rrjedhojë më rrallë).

3. Kostot e mbajtjes së inventarit, të cilat janë kostot e mbajtjes së inventarit në një magazinë (interesi i kapitalit të investuar, kostot e amortizimit dhe kostot operative), në përgjithësi rriten me rritjen e nivelit të inventarit.

4. Humbjet nga mungesat për shkak të mungesës së stokut të produkteve të nevojshme. Ato zakonisht shoqërohen me sanksione ekonomike nga konsumatorët dhe humbje të mundshme të fitimeve. Figura 1 ilustron varësinë e llojeve të konsideruara të kostove nga niveli i inventarit të produktit. Në praktikë, një komponent i kostos mund të injorohet nëse nuk përbën një pjesë të konsiderueshme të kostos totale. Kjo çon në thjeshtimin e modeleve të menaxhimit të inventarit.

Llojet e modeleve të menaxhimit të inventarit.

Një shumëllojshmëri e gjerë e modeleve të menaxhimit të inventarit përcaktohen nga natyra e kërkesës për produkte, të cilat mund të jenë deterministe ose probabiliste. Figura 2 tregon skemën e klasifikimit të kërkesës të miratuar në modelet e menaxhimit të inventarit.

Kërkesa statike deterministe supozon se intensiteti i konsumit mbetet konstant me kalimin e kohës. Kërkesa dinamike - kërkesa është e njohur por ndryshon me kalimin e kohës.

Natyra e kërkesës mund të përshkruhet më saktë përmes shpërndarjeve probabiliste jo-stacionare. Megjithatë, nga pikëpamja matematikore, modeli bëhet dukshëm më kompleks, veçanërisht me rritjen e periudhës kohore në shqyrtim.

Në thelb, klasifikimi në Fig. 2 mund të konsiderohet si një paraqitje e niveleve të ndryshme të abstraksionit të përshkrimit të kërkesës.

Në nivelin e parë, supozohet se shpërndarja e probabilitetit të kërkesës është e palëvizshme në kohë, d.m.th. Gjatë të gjitha periudhave kohore të studiuara, përdoret i njëjti funksion i shpërndarjes së probabilitetit. Sipas këtij supozimi, ndikimi i luhatjeve sezonale të kërkesës nuk merret parasysh në model.

Niveli i dytë i abstraksionit merr parasysh ndryshimet e kërkesës nga një periudhë në tjetrën. Megjithatë, në këtë rast, funksionet e shpërndarjes nuk zbatohen dhe nevojat në çdo periudhë përshkruhen nga kërkesa mesatare. Ky thjeshtësim do të thotë që elementi i rrezikut në menaxhimin e inventarit nuk merret parasysh. Por na lejon të studiojmë luhatjet sezonale të kërkesës, të cilat, për shkak të vështirësive analitike dhe llogaritëse, nuk mund të merren parasysh në modelin probabilistik.

Në nivelin e tretë të thjeshtimit, supozohet se kërkesa gjatë çdo periudhe është e barabartë me vlerën mesatare të kërkesës së njohur për të gjitha periudhat në shqyrtim, d.m.th. vlerësoni atë me një intensitet konstant.

Natyra e kërkesës është një nga faktorët kryesorë kur ndërtohet një model i menaxhimit të inventarit, por ka faktorë të tjerë që ndikojnë në zgjedhjen e llojit të modelit.

1. Dërgesat me vonesë. Pasi të bëhet një porosi, mund të dorëzohet menjëherë ose mund të marrë pak kohë për t'u përfunduar. Intervali kohor ndërmjet momentit të vendosjes së një porosie dhe dorëzimit të tij quhet vonesa e dorëzimit. Kjo sasi mund të jetë përcaktuese ose e rastësishme.

2. Rimbushja e stokut. Procesi i rimbushjes mund të kryhet menjëherë ose në mënyrë të barabartë me kalimin e kohës.

3. Periudha kohore përcakton intervalin gjatë të cilit rregullohet niveli i stokut. Në varësi të periudhës kohore gjatë së cilës stoku mund të parashikohet në mënyrë të besueshme, periudha në shqyrtim supozohet të jetë e fundme ose e pafundme.

4. Numri i pikave të grumbullimit. Një sistem i menaxhimit të inventarit mund të përfshijë disa pika magazinimi. Në disa raste, këto pika janë të organizuara në atë mënyrë që njëra vepron si furnizues për tjetrin. Kjo skemë ndonjëherë zbatohet në nivele të ndryshme në mënyrë që një pikë konsumatore në një nivel të mund të bëhet një pikë furnizuese në një tjetër. Në këtë rast, ekziston një sistem kontrolli me një strukturë të degëzuar.

5. Numri i llojeve të produkteve. Një sistem i menaxhimit të inventarit mund të përmbajë më shumë se një lloj produkti. Ky faktor merret parasysh me kusht që të ketë njëfarë varësie midis llojeve të produkteve. Kështu, e njëjta hapësirë ​​magazine mund të përdoret për produkte të ndryshme, ose prodhimi i tyre mund të kryhet nën kufizime në asetet e përgjithshme të prodhimit.

Modele përcaktuese të menaxhimit të inventarit.

1. Modeli i përgjithësuar përcaktues për përcaktimin e madhësisë optimale të një grupi prodhimi nën supozimin e mungesës.

Një sistem i menaxhimit të inventarit konsiderohet kur produktet dorëzohen në magazinë direkt nga linja e prodhimit me një intensitet konstant të njësive të prodhimit për njësi të kohës. Me arritjen e një niveli të caktuar të vëllimit të stokut P ndalon prodhimi. Rifillimi i prodhimit dhe dërgimi i produkteve në magazinë kryhet në momentin kur kërkesa e pakënaqur arrin një vlerë të caktuar. G. Rezerva konsumohet me intensitet. Njihen parametrat e mëposhtëm: - kostoja e ruajtjes së një njësie malli në një magazinë për njësi të kohës; - kostoja e organizimit të një porosie (një grumbull produktesh); - humbje nga kërkesa e pakënaqur (gjobë). Kërkohet të gjendet vëllimi optimal i një serie produkti dhe intervali kohor ndërmjet pikave të rifillimit të furnizimit sipas kriterit të kostove totale minimale nga funksionimi i sistemit të menaxhimit të inventarit.

Grafikisht, kushtet e problemit janë paraqitur në figurën 3.

Figura tregon se rimbushja dhe shterimi i stokut kryhen njëkohësisht gjatë intervalit të çdo cikli. Stoku i akumuluar P konsumohet plotësisht gjatë intervalit. Gjatë intervalit, kërkesa nuk plotësohet, por akumulohet. Kërkesa e pakënaqur G mbuluar në intervalin .

Sasia quhet cikli i plotë i menaxhimit të inventarit.- kufizimi i stokut të produkteve, G– mungesa marxhinale e produkteve.

Natyrisht, niveli aktual i inventarit të produktit përcaktohet nga formula:

Nga trekëndëshi OAB vijon:

Në mënyrë të ngjashme, ne mund të përcaktojmë, dhe (2)

Nga ngjashmëria e trekëndëshave OAC dhe CEF mund të shkruajmë Nga barazia del se (3)

Shprehja (3) duke marrë parasysh (1) do të rishkruhet:

Pastaj kostoja totale e rimbushjes, ruajtjes së stokut të produktit dhe një ndëshkim i mundshëm për kërkesë të pakënaqshme do të përcaktohet nga shprehja:

Nëse sjellim kosto për njësi të kohës, atëherë shprehja për kostot për njësi do të duket si kjo:

Pra, ekziston një funksion i dy argumenteve P dhe T, vlerat optimale të të cilave përcaktohen si zgjidhje për problemin:

Për të gjetur minimumin e një funksioni prej dy argumentesh, është e nevojshme dhe e mjaftueshme të zgjidhet sistemi i ekuacioneve:

Kjo rrjedh nga fakti se funksioni është një funksion konkav në lidhje me argumentet e tij. Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve (5) jep rrënjët e mëposhtme jo negative:

Kostot minimale totale për njësi të kohës do të jenë:

Mund të konsiderojmë raste të veçanta.

1. Mungesa e produkteve nuk lejohet. Zgjidhja e problemit në këtë rast merret nga formula (6)-(8), nëse vendosim një penalitet.Atëherë C 1 /C 3 = 0 dhe vlerat optimale të sasive të kërkuara do të jenë:

Ky rast korrespondon me një grafik të ndryshimeve në nivelin e stokut me kalimin e kohës:

2. Rimbushja e stokut kryhet menjëherë. Në këtë rast supozohet dhe në përputhje me rrethanat

Grafiku i ndryshimit të nivelit të aksioneve duket si ky:

3. Mungesat nuk lejohen, rezervat plotësohen në çast, d.m.th. . Pastaj vijon:

Këto formula quhen formulat e Wilson-it, dhe madhësia quhet madhësia e lotit ekonomik.

Grafiku për ndryshimin e niveleve të aksioneve duket si ky:

Modele dinamike të menaxhimit të inventarit.

Në leksionet e mëparshme janë shqyrtuar problemet statike të menaxhimit të inventarit për një periudhë. Në një sërë problemesh të tilla, janë marrë shprehje analitike për nivelin optimal të stokut.

Nëse funksionimi i sistemit konsiderohet në n periudha dhe kërkesa nuk është konstante, vjen deri te modelet dinamike të menaxhimit të inventarit. Këto probleme, si rregull, nuk mund të zgjidhen në mënyrë analitike, por nivelet optimale të inventarit për secilën periudhë mund të llogariten duke përdorur metodën e programimit dinamik.

Problemi i menaxhimit të inventarit merret parasysh kur kërkesa për periudhën e j-të (j=1,n) përcaktohet nga vlera . Le të jetë niveli i stokut në fillim të periudhës së j-të dhe le të jetë vëllimi i rimbushjes së stokut në këtë periudhë. Rimbushja e inventarit kryhet menjëherë në fillim të periudhës dhe mungesat e produkteve nuk lejohen. Grafikisht, kushtet e problemit janë paraqitur në figurën 1.

Le të jenë kostot totale të ruajtjes dhe rimbushjes në periudhën e j-të. Vlera është e specifikuar, dhe për shkak Në fund të funksionimit të sistemeve, rezerva nuk është e nevojshme.

Kërkohet përcaktimi i vëllimeve optimale të porosive në çdo periudhë sipas kriterit të kostove totale minimale.

Modeli matematikor i problemës do të ketë formën

këtu është e nevojshme të përcaktohet , e cila do të plotësonte kufizimet (2)-(6) dhe do të minimizonte funksionin objektiv (1).

Në këtë model, funksioni objektiv është i ndashëm, kufizimet (2) kanë një formë të përsëritur. Dhe kjo veçori e modelit sugjeron mundësinë e përdorimit të metodës dinamike të programimit për ta zgjidhur atë. Modeli (1)-(6) ndryshon nga modeli standard i programimit dinamik nga prania e një kushti; kjo gjendje mund të transformohet si më poshtë. Nga (2) dhe (3) rrjedh se , ose mund të shkruhet

Pastaj nga (7) duke marrë parasysh (4) përcaktohet diapazoni i vlerave të mundshme: ose më në fund:

Kështu, kushti (3)-(4) zëvendësohet me kushtin (8), dhe modeli (1),(2),(5)-(6),(8) ka një formë standarde për metodën e programimit dinamik.

Në përputhje me metodën e programimit dinamik, zgjidhja e këtij problemi përbëhet nga hapat e mëposhtëm:

Pason nga kufizimi (12)-(14).(j=2,n).

Algoritmi është i kundërt dhe, si rezultat, janë gjetur vlerat optimale të variablave të kërkuar. Vlera minimale e funksionit objektiv (1) përcaktohet nga vlera

Detyrë vëzhgim dinamik, i cili fillimisht u quajt problem vëzhgimi asimptotik, në formën e tij aktuale u formulua nga shkencëtari amerikan D. Luenberger në vitin 1971. Termat "vëzhgim dinamik" ose "vëzhgim asimptotik" nuk pasqyrojnë plotësisht thelbin e problemit, i cili konsiston në zgjidhjen e problemit. rikuperimi vektori i gjendjes së një objekti (procesi) dinamik në një mjedis dinamik të krijuar posaçërisht bazuar informacion në dispozicion. Duhet të theksohet se informacioni i disponueshëm mund të paraqitet në dy forma: në formë rezultatet e matjeve direkte Dhe model formë mjedis dinamik, duke gjeneruar ndikim ekzogjen.

Nuk është gjithmonë e mundur të sigurohet natyra asimptotike e procesit të vëzhgimit për shkak të matshmërisë jo të plotë të variablave dhe ndikimeve, pranisë së ndërhyrjeve të pakontrolluara, faktorëve të pa llogaritur të një natyre modeli dhe sinjali, etj. Në këtë drejtim, duket më e saktë të përdoret koncepti " vëzhgues dinamik"(DNU), shfaqja e vulgarizmit terminologjik është gjithashtu e mundur" vëzhgues».

Fillimisht, zona kryesore e përdorimit të DNU ishte sistemet dinamike, të cilat përfshijnë gjeneratorë të sinjaleve të kontrollit që përdorin informacion në formën e lidhjeve direkte dhe reagime sipas gjendjes së objektit ose burimi dimensionale të fundme ndikim ekzogjen. Aktualisht, fusha e përdorimit të DNU është zgjeruar ndjeshëm për shkak të gjeneratës së re sistemet matëse të cilët vendosin detyra e gjenerimit të një rezultati matjeje në mjedisin algoritmik të DNU.Çështjet që lidhen me përdorimin e DNU përfshinformësues sinjalet e kontrollit.

Në seksionet e mëparshme, algoritmet për gjenerimin e sinjaleve të kontrollit të bazuara në një të vetme Koncepti i sistemit të ngjashmërisë, e cila është realizuar në një rast në metoda e kontrollit modal objekt dinamik, në një tjetër - një metodë izodromik i përgjithësuar menaxhimit. Përpara se të zgjidhim problemet e vëzhgimit dinamik në kuadrin e secilës prej këtyre metodave të kontrollit, ne do të japim një përkufizim të gjerë të sistemit të një pajisjeje vëzhgimi dinamik.

Në formulimin në të gjithë sistemin, sasia më e madhe e informacionit për ecurinë e proceseve të kontrolluara (objektet dinamike) gjendet në vektorin e gjendjes, i cili karakterizohet nga dimensioni më i madh në krahasim me variablat e tjerë të procesit. Por gjendja është një variabël i fshehur (i brendshëm) që mbart informacion të plotë për "sekretin" e sistemit të procesit; ai nuk duhet të jetë i disponueshëm për matje të drejtpërdrejtë plotësisht. Variablat e jashtëm janë vektori dalje, vektor sinjali i kontrollit, vektor i gabimeve luajtje master ndikim ekzogjen, ndonjëherë vetë ndikimi. Mjedisi i informacionit mund të plotësohet modeli burimor ndikimi ekzogjen (MIEV).

Tani mund të përcaktojmë një pajisje vëzhgimi dinamike (DSU).

Përkufizimi 16.1 (O16.1). Pajisja dinamike e monitorimit është mjedis teknik ose algoritmik, i cili zbaton një shfaqje funksionale të të gjithë komponentëve të matshëm drejtpërdrejt:
ndikimi i vendosjes
, komponente
vektori i gabimit
, sinjal kontrolli
, komponente
vektori i daljes
, dhe ndoshta komponentë
vektori i gjendjes
te vektori
vlerësimet e vektorit të gjendjes, i cili ka një veti asimptotike, e cila përfaqësohet nga shënimi

Ku
– matrica në rastin e përgjithshëm të një transformimi të veçantë (të pakthyeshëm).

Në shumicën e rasteve praktike, problemi i vëzhgimit dinamik zgjidhet në çifte, dhe në rastet kur problemi reduktohet në një version autonom të një sistemi dinamik, pastaj në vektorët e daljes
ose gabime
.

Shënimi 16.1 (PR.16.1). Problemet e sintezës diskutohen më poshtë kontrollet dinamike modale dhe dinamike të përgjithësuara izodromike, të cilat zgjidhen në bazë të grumbullimit të pajisjeve dinamike të vëzhgimit dhe pajisjeve për gjenerimin e sinjaleve të kontrollit, të marra në bazë të hipotezës së matshmërisë së plotë të vektorit të gjendjes së objektit. Në këtë drejtim, kontrolli modal dhe kontrolli izodromik i përgjithësuar, i formuar në këtë mënyrë (d.m.th., me metodat e përshkruara në seksionin 15) në ndryshim nga dinamike ne do të thërrasim algjebrike modale dhe algjebrike kontrolle të përgjithësuara izodromike.

Le të shqyrtojmë rastin e kontrollit modal. Le të vendosim detyrën duke formuar një pajisje vëzhgimi që ju lejon të rivendosni vektorin
gjendja e një objekti dinamik të vazhdueshëm që ka një përshkrim vektor-matricë

Para se të fillojmë të zgjidhim problemin e krijimit të një pajisjeje vëzhguese dinamike, le të shqyrtojmë një " hipotetike" situatë. Për ta bërë këtë, le të supozojmë se , pastaj për matshmëri e plotë vektoriale
vektoriale
gjendja e objektit (16.2) me pamatshmërinë e tij të plotë mund të rikthehet për shkak të lidhjes

(16.3)

Është e lehtë të shihet se një pajisje e tillë vëzhguese duhet të quhet "statike" pasi ka dinamikë zero.

Bazuar në situatën e konsideruar "hipotetike", deklarata e mëposhtme mund të formulohet pa prova.

Deklarata 16.1 (U16.1). Për funksionimin e duhur pajisje monitorimi dinamike në të cilën të gjitha komponentët vektorial
gjendja e një objekti që ka
, duhet të plotësohet kushti

Ku
vektori i gjendjes së një vëzhguesi dinamik.

Shënimi 16.2 (PR.16.2). Situata kur plotësohet pabarazia përdoret në rastin kur procesi i matjes së vektorit
objekti dinamik shoqërohet me ndërhyrje të dukshme në mënyrë që DNU-së t'i besohet detyra rikuperimi vektor i gjendjes së objektit me të njëkohshëm filtrim matjet.

Le të kthehemi te relacioni (16.1) për të analizuar ngarkesën e sistemit të vendosur në matricën e ngjashmërisë
dimensionet
. Dimensioni dhe pamja e kësaj matrice pasqyron plotësisht shumëllojshmërinë e opsioneve për ndërtimin e pajisjeve dinamike të monitorimit, si më poshtë:

- Nëse
në
dhe ku
madhësia e plotë dhe ne bazë vëzhguar dinamike Objekt;

- Nëse
në
dhe ku
, atëherë ndërtohet një pajisje vëzhgimi dinamike madhësia e plotë V bazë që nuk përkon me bazën dinamika e vëzhguar Objekt, më shpesh kjo është një lloj bazë kanonike;

- Nëse
në
, atëherë ndërtohet një pajisje vëzhgimi dinamike dimension jo të plotë në baza arbitrare, më së shpeshti janë disa bazë kanonike; në këtë rast, për të rivendosur të gjithë përbërësit e vektorit të gjendjes së objektit, përdoret një përbërje nga matja e vektorit të daljes dhe vektorit të gjendjes së DNU, si dhe një matricë e përbërë nga matrica
.

Pajisjet dinamike të vëzhgimit të dimensionit të plotë në bazën e objektit origjinal ndërtohen në bazë të sa vijon konsiderata sistematike të përfshira në deklaratën e mëposhtme.

Deklarata 16.2 (U16.2). Vëzhguesi dinamik i vektorit
gjendja e një objekti kontrolli të vazhdueshëm (16.2), zbatues algoritmi i vëzhgimit, i shkruar në formë matrice vektoriale

Ku
Vektori i gjendjes DNU,
, karakterizohet nga procesi i konvergjencës së vlerësimit
te vektori i vlerësuar
gjendja e objektit (16.2), e përcaktuar nga spektri algjebrik i vlerave vetjake të matricës

. □(16.6)

Dëshmi. Për të vërtetuar vlefshmërinë e pohimit të formuluar, marrim në konsideratë vektorin
mbetjet e vëzhgimit, e cila për rastin e përgjithshëm të problemit të vëzhgimit ka përfaqësimin

, (16.7)

dhe për rastin në shqyrtim, për shkak të barazisë
merr formën

. (16.8)

Është e lehtë të shihet se procesi i konvergjencës
te vektori i vlerësuar
në formën (16.1) duke përdorur vektorin
Mbetjet e vëzhgimit marrin formën

. (16.9)

Le të ndërtojmë një model të dinamikës së konvergjencës së procesit të vëzhgimit duke përdorur vektorin e mbetur të vëzhgimit (16.8).Diferencimi në lidhje me kohën (16.8) i ndjekur nga zëvendësimi i marrëdhënieve (16.2) dhe (16.5) në rezultatin e diferencimit jep

çfarë shkruhet në formë

ku për vektorin
Mbetjet e vëzhgimit mund të shkruhen

Shënimi 16.3 (PR.16.3). Nëse gjendjet fillestare të objektit të kontrollit (16.2) dhe DNU (16.5), atëherë në bazë të (16.11) mospërputhja e vëzhgimit
dhe vektori i vëzhguar
dhe vlerësimin e tij
në mënyrë identike përkojnë, domethënë, lidhja qëndron

Le të prezantojmë përkufizimin kontroll modal dinamik.

Përkufizimi 16.2 (O16.2).Dinamik kontroll modal do të quajmë kontroll të formës (15.48), në të cilën reagimet negative përgjatë vektorit
gjendja e objektit të kontrollit zëvendësohet me reagime vektoriale
vlerësimet e vektorit
, i formuar në varësi të zbatimi i matricës
për shkak të marrëdhënieve:

1. kur


(16.12)

2. në (16.13)

3. në (16.14)

Le të ndërtojmë tani një algoritëm për sintetizimin e kontrollit modal dinamik për rastin e formimit të një vlerësimi
vektoriale
gjendja e një objekti të formës (16.12), i formuar në mjedisin DNU (16.5).

Prezantimi. Ekonomia e tregut në Ukrainë kërkon qasje të reja ndaj menaxhimit: kriteret ekonomike dhe të efikasitetit të tregut dalin në plan të parë. Progresi shkencor dhe teknologjik dhe dinamika e mjedisit të jashtëm i detyrojnë ndërmarrjet moderne prodhuese të shndërrohen në sisteme më komplekse që kërkojnë metoda të reja menaxhimi. Forcimi i orientimit të tregut të ndërmarrjeve dhe ndryshimet e papritura në mjedisin e jashtëm kërkojnë zhvillimin e sistemeve konkurruese të menaxhimit të krijuara për të zhvilluar vendime komplekse të menaxhimit, dhe për këtë arsye qasje dhe algoritme më efektive për zgjidhjen e problemeve në shkallë të gjerë.

Puna u krye në përputhje me programin shtetëror shkencor dhe teknik 6.22 - teknologjitë e avancuara të informacionit dhe planet e sistemeve për aktivitetet shkencore dhe shkencore-teknike të Urdhrit Odessa të Institutit Lenin të Forcave Tokësore për 2004, sipas temave të punës kërkimore .

Analiza e hulumtimeve të fundit Aktualisht, një nga qasjet kryesore dhe më efektive për zgjidhjen e problemeve të kontrollit me dimensione të larta është dekompozimi. Kjo qasje kombinon një grup metodash të bazuara në zbërthimin e problemit origjinal me dimensione të larta në nënprobleme, secila prej të cilave është dukshëm më e thjeshtë se ajo origjinale dhe mund të zgjidhet në mënyrë të pavarur nga të tjerat. Lidhja midis nëndetyrave individuale kryhet duke përdorur një detyrë "koordinuese", e cila është gjithashtu më e thjeshtë se ajo origjinale. Për ta bërë këtë, problemi i kontrollit është sjellë në një formë që plotëson kërkesat e zbërthimit, kryesore prej të cilave janë: aditiviteti (ndashmëria) e funksionit objektiv; bllokojnë natyrën e kufizimeve; prania e lidhjeve të bllokut. Sidoqoftë, kur zgjidhen problemet praktike të sintezës së kontrollit optimal me dimensione të larta, shpesh është e vështirë të plotësohen kërkesat e listuara. Për shembull, cilësia e funksionimit të një sistemi prodhimi mund të vlerësohet me një kriter të një lloji shumë të përgjithshëm, i cili mund të jetë i pandashëm në lidhje me detyrat e menaxhimit të nënsistemeve individuale. Prandaj, kur konvertohet problemi i kontrollit origjinal në një formë që plotëson kërkesat e zbërthimit, janë të pashmangshme thjeshtësimet e ndryshme, përafrimet dhe opsionet e ndryshme për ndarjen e problemit në nëndetyra lokale, d.m.th. blloqet e kufizimeve dhe lidhjet ndërblloqe. Të gjithë këta faktorë ndikojnë si në cilësinë e zgjidhjes ashtu edhe në kompleksitetin e llogaritjeve gjatë gjetjes së zgjidhjes optimale.

Për shkak të mungesës së deritanishme të metodave për vlerësimin cilësor të ndikimit të faktorëve të listuar në cilësinë e zgjidhjes, duket e rëndësishme të zhvillohet një metodë për zgjidhjen e një problemi me dimensione të larta që do të linte një farë lirie në zgjedhjen e strukturës lokale. problemet, si dhe kënaqja dhe vlerësimi i ndikimit të thjeshtimeve të ndryshme në cilësinë e zgjidhjeve.

Nga analiza e burimeve të literaturës rezulton se metodat numerike të pranueshme për zgjidhjen e problemeve jolineare të optimizimit shoqërohen me kosto të konsiderueshme të kohës dhe kujtesës së kompjuterit, dhe përdorimi i linearizimit çon në humbje në cilësinë e kontrollit. Prandaj, këshillohet që metoda e re që po zhvillohet për zgjidhjen e problemit të ruajë natyrën e saj jolineare dhe kontrolli optimal të përcaktohet brenda kornizës së një strukture të decentralizuar llogaritëse.

Objekti i hulumtimit janë algoritmet për zgjidhjen e problemeve të kontrollit me dimensione të mëdha.

Objekti i hulumtimit është zhvillimi i një qasjeje të bazuar në idenë e ekuivalencës ose kuazi-ekuivalencës së problemit origjinal me dimensione të larta dhe problemit përkatës të dekompozimit të bllokut.

Detyra shkencore është zhvillimi i algoritmeve, përdorimi i të cilave do të siguronte kontroll optimal brenda një strukture të decentralizuar, pa pasur nevojë për shkëmbim iterativ të informacionit ndërmjet niveleve të kontrollit.

Qëllimi i punës është zhvillimi dhe plotësimi i elementeve të teorisë së aplikuar dhe mjeteve të orientuara drejt problemit për optimizimin e problemeve të kontrollit me dimensione të mëdha.

Risia shkencore qëndron në zhvillimin e një qasjeje për sintezën e algoritmeve të optimizimit për problemet e kontrollit në shkallë të gjerë brenda kornizës së një strukture të decentralizuar llogaritëse, në të cilën nuk ka nevojë të organizohet një proces përsëritës midis niveleve të kontrollit.

Materiali kryesor.Le të përcaktohet problemi i kontrollit optimal të një sistemi dinamik të vazhdueshëm në shqyrtim nga ekuacioni diferencial

(1)

sipas kriterit

(2)

në

ku - n m – vektori i kontrollit dimensional; - n – një funksion dimensional, përbërësit e të cilit janë vazhdimisht të diferencueshëm në lidhje me argumentet; - funksion skalar konveks, i diferencueshëm; - të specifikuara përkatësisht kohët fillestare dhe përfundimtare.

Për të përfaqësuar objektin e kontrollit (1) në formën e një serie nënsistemesh ndërvepruese, ne zgjerojmë (1) në një seri Taylor në lidhje me pikën e ekuilibrit.

Ku,

ose

(3)

Në shprehjen (3), A dhe B përfaqësojnë pjesë bllok-diagonale të matricave dhe, përkatësisht, me blloqe dhe .

dhe dhe janë pjesët jo diagonale dhe, përkatësisht.

Duke futur një vektor marrëdhëniesh në atë mënyrë që i – kjo komponentë përcaktohet nga shprehja

, (4)

mund të shkruajmë ekuacionini– nënsistemet

ku - është vektori i kontrollit dimensional; - - vektori dimensional i gjendjes; - n – vektor dimensional i marrëdhënies.

Metoda e propozuar e dekompozimit për sintetizimin e kontrolleve optimale është si më poshtë. Nënsistem përbërës

dhe duke marrë parasysh marrëdhënien me nënsistemet e tjera, do ta quajmë të izoluar.

Përbërja i – х i = 1,2,…, P nënsistemet përfaqësohen nga modeli

(5)

ku dhe janë matricat diagonale bllok me blloqe dhe përkatësisht.

Le të formulojmë kriterin

, (6)

ku është një matricë diagonale e bllokut gjysmë të përcaktuar pozitiv

me blloqe; - matrica bllok-diagonale pozitive-caktuar

me blloqe - kontroll optimal.

Përcaktojmë matricat dhe nga kushti i kuaziekuivalencës së problemave (1) – (2) dhe (5) – (6), që ka formën

Këtu,

Ku .

Për të përcaktuar elementët e matricës, kemi një sistem ekuacionesh algjebrike

. (7)

Pas zgjidhjes së ekuacionit (7), kemi P probleme të pavarura të optimizimit në lidhje me strukturën bllok-diagonale të matricave

,

Kontrolli optimal lokal ka formën

, (8)

, plotëson ekuacionin diferencial linear.

, . (9)

Zgjidhja globale është një përbërje e zgjidhjeve optimale

. (10)

konkluzione. Kështu, problemi i sintetizimit të kontrollit optimal për problemin origjinal me dimensione të larta (1) – (2) zbret në sa vijon: formulimi i problemeve lokale të optimizimit (5) – (6); përcaktimi i parametrave të problemave lokale duke përdorur formulat (3) dhe (6); zgjidhja e problemeve lokale sipas (8) – (9); përbërja e tretësirave lokale (10).

Humbjet e cilësisë me një qasje optimale për sintezën e kontrolleve afërsisht optimale mund të vlerësohen duke përdorur formulat e propozuara në.

Ofrohet qasja e re për zgjidhjen e problemit të kontrollit, bazuar në idenë e ekuivalencës së një problemi fillestar me dimension të madh dhe në përputhje me përbërjen e bashkuar të një problemi.

1. Mesaroviç M., Mako D., Takahara I. Teoria e sistemeve hierarkike me shumë nivele. – M.: Mir, 1973.

2. Aesdon L.S. Optimizimi i sistemeve të mëdha. – M.: Mir, 1975.

3. Albrecht E.G. Mbi stabilizimin optimal të sistemeve jolineare. – Matematika dhe mekanika e aplikuar, 1961, vëll.25.

4. Zhivoglyadov V.P., Krivenko V.A. Një metodë për zbërthimin e problemeve të kontrollit me dimensione të mëdha me një kriter cilësie të pandashme. Abstrakte të Konferencës së II-të të Gjithë Bashkimit Ndëruniversitar "Mbështetja matematikore, algoritmike dhe teknike e sistemeve të automatizuara të kontrollit të procesit". Tashkent, 1980.

5. Hassan Mohamed, Sinqh Madan G. Optimizimi për sistemet jo-lineare duke përdorur një metodë të re me dy nivele.“Automatica”, 1976, 12, nr.4.

6. Mahmud M.S. Optimizimi dinamik me shumë nivele për një klasë sistemesh jolineare, “Int. J. Control”, 1979, 30, nr.6.

7. Krivenko V.A. Transformimi kuazi-ekuivalent i modeleve të optimizimit në problemet e sintezës së algoritmeve të kontrollit. – Në librin: Përshtatja dhe optimizimi në sisteme të mëdha. – Frunze, 1985.

8. Krivenko V.A. Një metodë për sintetizimin e algoritmeve të kontrollit duke përdorur idenë e modifikimit të funksionit objektiv. – Frunze, 1985.

9. Rumyantsev V.V. Mbi stabilizimin optimal të sistemeve të kontrolluara. – Matematikë dhe mekanikë e aplikuar, 1970, numër. 3.

10. Ovezgeldyev A.O., Petrov E.T., Petrov K.E. Sinteza dhe identifikimi i modeleve të vlerësimit dhe optimizimit me shumë faktorë. – K.: Naukova Dumka, 2002.

Përgjigjet në pyetje