Распределение парето случайной величины. Парето распределение

где x m , k > 0 {\displaystyle x_{m},k>0} . Тогда говорят, что X {\displaystyle X} имеет распределение Парето с параметрами x m {\displaystyle x_{m}} и k {\displaystyle k} . , . Его правило 20 к 80 (которое гласит: 20% популяции владеет 80% богатства) однако зависит от конкретной величины k , и утверждается, что фактически встречаются существенные количественные отклонения, например, данные самого Парето по Британии в Cours d"économie politique говорят, что там примерно 30% населения владеет 70% общего дохода.

Распределение Парето встречается не только в экономике. Можно привести следующие примеры.

На глобальном уровне экономический механизм распределения проходит две стадии: с одной стороны, факторы производства получают вознаграждение, соответствующее их роли в производстве; с другой стороны, перераспределяются доходы, образовавшиеся в связи с производством, причем здесь действует уже не принцип “каждому по его вкладу”, а принцип “каждому по потребностям”.

В первом случае речь идет о функциональном, а во втором - об индивидуальном распределении.

В ходе индивидуального распределения различаются отдельные элементы дохода человека: а) вознаграждение, которое субъект получает за представленные им производственные услуги, связанные с землей, трудом, капиталом; б) доходы, которые могут быть предоставлены индивиду на основаниях, не связанных с его вкладом в производство (семейные пособия, пенсии, пособия по безработице).

Факторами индивидуального распределения являются норма оплаты ресурсов производства, их распределение среди членов общества, политика перераспределения доходов среди членов общества.

Важнейшая проблема индивидуального распределения - проблема неравенства личных доходов людей.

Существует четыре подхода к измерению неравенства.

1. Наиболее простым выражением дифференциации доходов служит статистический ряд распределения населения по величине получаемого дохода. На основании полученного ряда распределения рассчитываются статистические характеристики: среднее значение дохода (Х), мода (М 0) - наиболее частая величина дохода; дисперсия (характеристика разброса случайной величины около ее математического ожидания) и др.

2. Формула Парето

где Х - уровень дохода;

N- количество лиц, получающих доходы, равные или превышающие Х;

А, - константы, вычисляемые статистически.

Чем больше , чем круче наклон линии, тем слабее неравенство в доходах.

3. Формула Каррадо Джини

где N - количество лиц, получающих доходы, превышающие определенный уровень Х;

Р, А - константы.

Крутизна падения служит показателем степени неравенства в распределении доходов. Чем меньше a , тем больше неравенство.

4. Кривая Лоренца. Его методика наиболее широко применяется для измерения неравенства доходов.

График 30. Кривая Лоренца

На вертикальной оси отмечают процентное распределение национального дохода, на горизонтальной оси Х - доли людей, получающих этот доход. При равном распределении дохода образуется прямая линия, идущая по диагонали от точки О к точке А. Если же доход распределяется неравным образом, то это отражает линия, соединяющая указанные точки. Она тем более будет вогнута в сторону, противоположную от абсциссы, чем выше степень неравенства в сфере распределения. Поделив площадь между линиями совершенного равенства и фактического распределения дохода на половину площади прямоугольника, отражающего процентное распределение дохода и людей, получающих эти доходы, получим так называемый коэффициент Джинни. Чем он больше, тем больше неравенство.

На основе изучения статистики ряд стран Парето установил, что распределение доходов выше определенной величины сохраняет значительную устойчивость. Этой ситуации отвечает наклон линии в уравнении Парето, равный примерно 1,5.

График 31. Закон распределения Парето

На графике 31 по оси абсцисс откладываются доходы, по оси ординат - группы населения, их получающие. Кривая авdс показывает распределение населения по уровню дохода. После некоторой величины дохода Х 1 распределение населения по уровню дохода чрезвычайно устойчиво и соответствует наклону оси 1,5. Парето не распространял действие закона на область доходов ниже величины Х 1 , а также на область самых высоких доходов. Парето считал, что в основе открытого им закона лежит неравномерное распределение природных человеческих способностей, поэтому, по его мнению, любые социальные преобразования, призванные изменить принцип распределения, будут безуспешны 14 .

Как взаимодействуют между собой индивидуальное распределение и экономический рост?

На примере промышленной революции можно выделить типичную последовательность стадий эволюции распределения индивидуальных доходов.

Первая стадия соответствует переходному периоду от доиндустриальной фазы экономического развития к индустриальной. В этот период неравенство доходов значительно возрастает.

Вторая стадия соответствует освоению промышленной революции. В этот период неравенство стабилизируется.

Третья стадия соответствует нарастанию элементов постиндустриального развития. В этот период неравенство уменьшается.

В настоящее время в пользу усиления неравенства действуют такие факторы, как концентрация сбережений классами с высокими доходами, миграция населения из деревень в города. В пользу сокращения неравенства действуют:

1) политические меры, которые уменьшают права собственности, наследования или производительность капитала (снижают уровень квартплаты или нормы процента);

2) более низкие показатели демографического роста в группах с высокими доходами;

3) появление новых отраслей промышленности, которые вызывают сокращение доходов богатых классов, связанных c традиционными отраслями;

4) растущая сфера обслуживания, которая благоприятствует классам, имеющим низкие доходы 15 .

Распределение - фаза общественного воспроизводства, определяющая долю факторов производства в национальном доходе, а также групп людей, различающихся по размерам доходов.

Распределение имеет собственные закономерности (например, в результате распределения предельная полезность благ для одной группы людей падает, а для другой – возрастает) и может явиться причиной стагнации и упадка производства.

***

См.: Пезенти А. Очерки политической экономии. Т.2. М.: Прогресс, 1976. С.795; Мюрдаль Г. Современные проблемы третьего мира. М.: Прогресс, 1972. С.636-692; Блауг М. Экономическая мысль в ретроспективе. М.: Дело. ЛТД, 1994. С.153-156.

2 См.: Математика и кибернетика в экономике: Словарь справочник / Ред. колл. Н.П.Федоренко, Л.В.Канторович и др. М.: Экономика, 1975. С.456-457.

3 Барр Р. Политическая экономия. Т. 1. М.: Междунар. отношения, 1995. С.427-428.

4 Там же.

5 Там же. Т.2. С.228-232.

6 См.: Блауг М . Экономическая мысль в ретроспективе. М.: Дело. ЛТД, 1994. С.44.

7 Барр Р. Политическая экономия. М.: Междунар. отношения, Т.2. 1995. С.9.

8 Там же.

9 См.: Народное хозяйство СССР в 1990 году. М.: Финансы и статистика, 1991. С.9.

10 Там же. С.113.

11 Маркс К. Капитал. Т.1. М.: Политиздат, 1978. С.722-733.

12 См.: Барр Р. Политическая экономия. М.: Междунар. отношения. 1995. Т.2. С.16-44.

13 Там же. С.16-44.

14 Экономическая энциклопедия. М.: Энциклопедия, 1979. С.206.

15 Барр Р. Указ. соч. С.253-254.

Теоретический анализ, опирающийся на специальные раз-теории вероятностей , а также серия поставленных на ЭВМ вычислительных экспериментов показали, что только узкое семейство вероятностных распределений, простейшим из которых является распределение Парето, при О 1, надежно обеспечивает концентрацию > 75% промышленных запасов нефти менее чем в 1О% месторождений. Именно такие цифры и закономерности характерны для подавляющего большинства нефтегазоносных бассейнов и мира [l]  

Рис. 10.5. Пример распределения Парето (Значения из табл.10.1)  

Распределение Парето - это усеченное слева распределение, плотность вероятности и функция распределения которого выражаются в виде х

Распределение Парето можно модифицировать таким образом, чтобы его можно было использовать для описания симметричных распределений вероятностей . Введя новую переменную t = X - В, получим  

Распределение изменений цены в общем случае относится к распределениям Парето (см. приложение В). Распределение торговых P L можно считать трансформацией распределения цен. Эта трансформация является результатом торговых методов, когда трейдеры пытаются понизить свои убытки и увеличить прибыли, следовательно, распределение торговых P L можно отнести к распределениям Парето. Однако распределение, которое мы будем изучать, не является распределением Парето. Распределение Парето, как и все другие функции распределения , моделирует определенное вероятностное явление. Оно моделирует распределение сумм независимых, идентично распределенных случайных переменных . Функция распределения , которую мы будем изучать, не моделирует конкретное вероятностное явление. Она моделирует многие унимодальные функции распределения. Поэтому она может повторить форму и плотность вероятности распределения Парето, а также любого другого унимодального распределения . Теперь мы создадим эту функцию. Для начала рассмотрим следующее уравнение  

Мы полагаем, что распределение этих 150 не учитываемых миллиардов при отсутствии фискально-перераспределительного воздействия государства подчиняется закону распределения Парето 20% самых богатых получают 80% всех доходов (120 из 150 дополнительных миллиардов).  

После изучения достаточно обширного статистического материала Парето пришел к выводу, что параметры этого распределения примерно одинаковы и не различаются принципиально в разных странах и в разное время. Кривая распределения доходов отличается замечательной устойчивостью, она меняется незначительно, хотя сильно преображаются обстоятельства времени и места, при которых ее наблюдают, - писал Парето в Социалистических системах. Форма этой кривой зависит от биологически заданного распределения психологических особенностей людей. Закон Парето породил обширную экономическую литературу, как критическую, так и интерпретирующую распределение Парето в отношении самых разных приложений - экономических, общественных, биологических, демографических и т. п.  

В предыдущей главе мы видели возможную замену нормального распределения как вероятностной функции для описания рыночных прибылей. Эта замена называлась, поочередно, устойчивыми распределениями Леей, устойчивыми распределениями Парето или распределениями Парето-Леви . Теперь мы можем добавить фрактальные распределения - название, которое лучше их описывает. Поскольку традиционные названия даны в честь математиков, которые их создали, мы будем использовать все эти названия попеременно.  

Оставшаяся часть этой главы посвящена анализу различных распределений вероятностей , применимых при оценке поведения рентабельности активов при условии соответствующих допущений. Начнем с двух непрерывных распределений - нормального и логнормального. Затем рассмотрим два дискретных распределения - биномиальное и Пуассона. Закончим рассмотрение группой других непрерывных распределений , в том числе и распределением Парето-Леви . Объясним наиболее желательные характеристики распределений с точки зрения финансового аналитика.  

Такое семейство распределений - это стабильные распределения, называемые так потому, что при сложении распределений (перемножая линейные комбинации характеризующих их функций) этого семейства получается другое распределение, относящееся к этому же семейству. Стабильные распределения в свою очередь состоят из других, лежащих в их основе, распределений. Распределения, построенные на основе распределения Парето (функция плотности вероятности которого ДА) = а/А +1 для Х> 1), обладают требуемыми характеристиками (симметричность, высокий пик и "жирные" хвосты) при конкретных значениях четырех определяющих параметров. Эти четыре параметра  

При этом получится распределение Парето (см. рис. 27) и появится возможность выявить несколько важнейших видов неполадок, на долю которых обычно приходится около 70 % всех случаев отказов. Когда информация распределена по убывающей важности, можно сконцентрировать внимание на тех участках, проработка которых даст наибольший эффект.  

Рис. 27 заимствовал из отчета об отказах, обнаруженных в автомобилях Швеции во время обязательного ежегодного контроля. На нем представлена типичная картина распределения Парето.  

Распределение Парето графически представлено на рис. 12.5.  

Доходы Рис. 12.5. Распределение Парето  

На оси х показаны доходы, а на оси/(л) число домохо-зяйств или лиц, имеющих доход, равный или больше определенной границы (х0). Распределение Парето на практике применяется при аппроксимации ранжированного по уровню доходов ряда получателей дохода внутри интервала, т. е. с его помощью описывают уровень дохода от количества получателей, чьи доходы выше или ниже заданных уровней.  

В связи с соотношением (1) уместно напомнить, что в математической статистике хорошо известно распределение со степенным характером убывания плотности - это распределение Парето с плотностью (а > О, Ь>0)  

Рассмотрим распределение Парето с плотностью  

В последнее время традиционные модели портфелей подвергаются серьезной критике, поскольку считается, что ценовые изменения лучше всего описываются распределением Парето с бесконечной (или неопределенной) дисперсией. Однако многие исследования доказывают, что рынки в последние годы стали ближе к нормальному распределению (т.е. к ограниченной дисперсии и независимости результатов), на чем и основаны критикуемые модели портфелей. В моделях портфелей используется распределение прибылей , а не распределение изменений цен. Несмотря на то что распределение прибылей является трансформированным распределением изменений цены (в результате закрытия проигрышных сделок и максимально долгого удержания выигрышных позиций), эти распределения, как правило, отличаются. Распределение прибылей не обязательно относится к классу распределений Парето, поэтому в главе 4 мы моделировали распределение P L с помощью регулируемого распределения. Более того, существуют производные инструменты , например, опционы, которые имеют ограниченную полудисперсию или дисперсию. Например вертикальный опционный спред в дебете гарантирует ограниченную дисперсию прибылей. Я не пытаюсь оспаривать разумную критику современных моделей портфелей. Модели следует использовать при условии, что мы осознаем их недостатки. Разумеется, необходимы более совершенные модели портфелей. Я не заявляю, что современные модели адекватны , а говорю лишь о том, что входные данные для моделей портфелей, нынешних или будущих, должны основываться на торговле одной единицей на оптимальном уровне - или на том уровне, который, как мы полагаем, будет оптимальным. Например, если мы применяем теорию Е - V (модель Марковица), входными данными являются ожидаемая прибыль, дисперсия прибылей и корреляции прибылей между рыночными системами . Входные данные должны определяться на основе торговли одной единицей по каждой рыночной системе на уровне оптимального Модели  

Третьим, характерным в основном для природных рисков, физическим распределением является распределение Парето (или самоподобное распределение). Функция плотности вероятности распределения ущерба при этом убывает по степенному закону  

В предыдущем разделе мы предполагали, что государство является арбитром в ситуации с внешними эффектами , устанавливая плату за право на внешний эффект , которая сделает распределение парето-эффек-тивным. Но предположим, что государство не может или не хочет вмешаться. Смогут ли участники этой ситуации разобраться без его участия и каким будет итог этого разбирательства  

В случае ЕМН, теория была развита, чтобы оправдать использование статистических инструментов, которые требуют независимости или, в лучшем случае, очень краткосрочной памяти. Теория часто вступала в противоречие с наблюдаемым поведением. Например, согласно ЕМН частота изменения цены должна быть хорошо представлена нормальным распределением . Мы видели в Главе 2, что дело обстоит не так. Существует слишком много больших изменений, идущих и вверх и вниз, во всех частотах, чтобы приспособить эту нормальную кривую к этим распределениям. Однако такие большие изменения были обозначены как особые события или "аномалии" и не включались в частотное распределение. Результатом исключения больших изменений и перенормирования является нормальное распределение . Изменения цены были обозначены как "приблизительно нормальные". Альтернативы нормального распределения , например, устойчивое распределение Парето, были отклонены, даже несмотря на то, что они соответствуют наблюдаемым стоимостям без модификаций. Почему Стандартный статистический анализ не мог быть применен с использованием таких распределений.  распределения доходов . Последним было обнаружено, что доход хорошо аппроксимируется логнормальным распределением , за исключением приблизительно трех процентов наивысших индивидуальных доходов. На этом участке доход начинает следовать обратному степенному закону, что дает утолщв" ние хвоста. Грубо говоря, вероятность того, что один человек в десять раз богаче другого, подчиняется нормальному рас" пределению, но вероятность стократного превышения благосостояния оказывается намного больше той, что предсказывается нормальным распределением . Парето предположил, что этот утолщенный хвост, вероятно, возникает потому, что богатый может более эффективно умножать свое богатство, чем средний индивид, чтобы достичь более высокого благосостояния и более высоких доходов. Похожий обратно-степенной з кон был найден Ципфом (G. К. Zipf, 1948) для частот исполь-   устойчивые распределения ведут себя так же, как и распределения Парето. В этом смысле "хвостовая" часть устойчивых распределений относится к паретовскому типу.  

Отметим, что часто, особенно в финансовой литературе, распределениями типа Паретои даже просто распределениями Парето называют распределения вероятностей , плотность которых на бесконечности убывает (как у а-устойчивых законов с 0

Устойчивое распределение Парето - это на самом деле целый класс распределений, которые иногда называют распределениями Парето-Леви. Функция плотности вероятности N"(U) задается следующим образом:

где U - переменная устойчивого распределения;

А - параметр эксцесса распределения;

В - параметр асимметрии распределения;

D - параметр расположения распределения;

V - параметр ширины; i - мнимая единица, -1 л (1/2);

ABS() - функция абсолютного значения; tan() - функция тангенса;

1п() - функция натурального логарифма.

Границами параметров уравнения (В.31) являются:

Четыре параметра распределения А, В, D и V позволяют распределению принимать множество различных форм.

Переменная А определяет высоту хвостов распределения, т. е. можно сказать, что А выражает переменную эксцесса распределения. Переменная А также называется характеристическим показателем распределения. Когда А = 2, распределение является нормальным, когда А = 1, распределение является распределением Коши. При значениях А 1.

Переменная В является коэффициентом асимметрии. Когда В = 0, распределение симметрично. Чем больше асимметрия, тем больше абсолютное значение В. Отметьте, что, когда А = 2, W(U, А) = 0, ив этом случае В не влияет на распределение. Когда А = 2, не важно, чему равно В, распределение все равно симметричное и нормальное. Параметр ширины V иногда выражается как функция переменной А: V = С л А, поэтому С = V л (1/А). Когда А = 2, V равно половине дисперсии. Когда А = 1 (для распределения Коши), V равно семиинтерквартиль- ной широте. D - это параметр расположения. Когда А = 2, среднее арифметическое является несмещенной оценкой D; когда А = 1, то средним арифметическим является медиана.

Функций распределения устойчивого распределения Парето не существует. По этой причине оценка параметров данного распределения затруднена, и работа с распределением проблематична. Интересно отметить, что параметры А, В, С и D устойчивого распределения Парето соответствуют четвертому, третьему, второму и первому моментам распределения соответственно, что позволяет с помощью устойчивого распределения Парето моделировать разные типы реальных распределений, особенно в тех случаях, когда хвосты распределения толще, чем при нормальном распределении или при бесконечной дисперсии (когда А

Бесконечная дисперсия делает центральную предельную теорему неприменимой к данным, которые распределяются в соответствии с устойчивым распределением Парето, когда А

Одна из основных характеристик устойчивого распределения Парето состоит в том, что оно инвариантно относительно сложения, т.е. сумма независимых переменных (распределенных согласно устойчивому распределению Парето) с характеристическим показателем А будет распределена подобным образом, причем с достаточно близким по величине характеристическим показателем. Таким образом, мы имеем обобщенную центральную предельную теорему, которая совпадает с центральной предельной теоремой, за тем исключением, что предельной формой распределения является устойчивое распределение Парето, а не нормальное распределение, и теорема верна, даже если данные имеют бесконечную дисперсию (т. е. А

Именно эта обобщенная центральная предельная теорема позволяет использовать устойчивое распределение Парето для моделирования изменений цены .

Многие исследователи пытались классифицировать различные распределения вероятности. Без сомнения, многого добился в этой области Карл Пирсон, но, пожалуй, самая исчерпывающая работа по классификации наиболее известных распределений вероятности была представлена Фрэнком Гейтом . «Указатель» Гейта освещает почти все известные распределения, информация о которых была опубликована до января 1958 г. Гейт перечисляет большинство математических функций, связанных с распределениями. Что еще более важно, в его работе даны ссылки на книги и статьи, чтобы читатель мог найти публикации для получения более подробной информации относительно интересующего его распределения. В указателе Гейта распределения классифицируются (всего он приводит десять видов):

• 1. Нормальное.
• 2. Тип III.
• 3. Биномиальное.
• 4. Дискретное.
• 5. Распределения (А, В).
• 6. Распределения (0, +оо).
• 7. Распределения (-оо, +оо).
• 8. Прочие одномерные распределения.
• 9. Прочие двумерные распределения.
• 10. Прочие многомерные распределения.

Из всех распределений, которые мы рассмотрели в данном приложении, хи- квадрат и экспоненциальное распределение отнесены Гейтом к типу III. Биномиальное, геометрическое и распределение Бернулли отнесены к биномиальным. Распределение Пуассона и гипергеометрическое распределение отнесены к дискретным распределениям. Равномерное распределение относится к распределениям (А, В). F-распределение, а также распределение Парето относятся к распределениям (0, +оо), распределение Стьюдента считается распределением (-оо, Too), а полиномиальное распределение относится к многомерным распределениям. Следует также отметить, что не все распределения можно отнести к одной из этих десяти категорий, так как некоторые распределения можно считать подклассами других. Например, распределение Стьюдента относится к распределениям (-оо, Too), при этом нормальное распределение может считаться подклассом распределения Стьюдента, но нормальному распределению выделена собственная категория. Как видите, не существует каких-либо четких критериев для деления распределений на классы, однако указатель Гейта составлен достаточно наглядно. Читателям, интересующимся различными типами распределений и собирающимся проводить собственные исследования, следует познакомиться с работой Гейта.

• Не путайте устойчивое распределение Парето с регулируемым распределением, рассмотренным в главе 4. Устойчивое распределение Парето является реальным распределением,так как оно моделирует вероятность некоторого явления. Регулируемое распределениемоделирует другие (двухмерные) распределения вероятности, подобные распределениюПарето.
• Haight, F.A., «Index to the Distributions of Mathematical Statistics», Journal of Research of theNational Bureau of Standards - D. Mathematics and Mathematical Physics 65D, No. 1, pp. 23-60,January-March 1961.